赵曜

数学具有抽象美。数学是从具体的范畴中抽象出来的数量、关系和空间形式，许多表面上看似不同的问题其实都是相同的数学问题。而这种抽象使数学具备了简洁、强大和直接触及问题本质的特点。举个例子，我们在小学学过自然数的两种最基本的运算：加法和乘法，它们看似不同，但实际上都是数学中一个叫做合成法则的东西，集合S上的一个合成法则σ是一个映射σ：S×S→S,他把S中的每一对元素(a,b)映为S中一个元素ab,如果合成法则满足：(ab)c=a(bc),那么这个合成法则称为是“结合的”，注意当σ为自然数中的加法或乘法时，其满足是“结合的”，或者说，满足结合律。而当对于σ，当S中存在一个元素“1”，满足对任意a∈S，有1a=a1=a时，称σ是有单位元的；如果还满足对任意a∈S,存在逆元,使得==1，那么S连同其合成法则σ，构成一个群。群可以是全体实数连同加法，可以是实数去掉0连同乘法，可以是可逆矩阵连同矩阵乘法，甚至可以是某个集合到自身的可逆映射全体连同映射间的复合！这样纷繁复杂的数学现象就被群这样一个数学结构给囊括了，这使得对于群成立的结论对于这些数学现象也都成立，这就是它强大的地方。

数学美的地方还在于，一个数学概念的推广往往会使人类的知识领域、能力范围扩大许多。比如我们考虑平面图形的对称，常见的对称有：平移、镜面反射、旋转等，对称的一般过程可以描述为平面点集到自身的保持某种不变性的映射（例如使某些子集映到它们自身），而这个过程抽象到一般的集合上（可以不是平面点集）就是群作用，群作用可以使我们脱离视觉的限制来研究更广泛的集合上的对称，同时用公理化使得描述更为精确，而对群作用的研究不仅增加了人们对于对称的认识，还极大地增加了关于群本身的知识（因为群可以通过在自身上作用来了解它的结构），这方面很漂亮的结果之一就是西罗定理。再比如微积分中关于连续性的定义（一般的语言），当在欧式空间中引入开集后，连续性的等价描述就变为：开集的原像是开集，这便是后来拓扑学的思想渊源。欧式空间中的开集具有3个基本性质：1.空集和全集是开集；2.任意开集的并是开集；3.有限个开集的交是开集.将这三条性质公理化，便得到一般拓扑空间中的开集的公理，而开集的原像是开集也成为一般拓扑空间中连续映射的定义，由此，拓扑学的大门便被打开。这样一种概念的推广为我们带来了一门新的学科，同时公理化的方法不仅让我们得到更多的空间，也成为证明定理和得到性质的强有力的工具，抽象使得我们能够脱离直觉处理更高维和更一般的空间，为人类拓宽知识领域和能力范围。

数学还具有形式美，丰富多彩的几何与拓扑有许多生动的例子，它们给我们带来视觉上的美感。此外，数学公式往往以其简洁、优美、内涵丰富和意义深刻给人以心灵上的震撼，其中最著名的例子莫过于欧拉公式了：

这个式子把0（加法单位元），1（乘法单位元），e（分析常数），i（虚数单位），（几何常数）用简单的加法（+）和等号（=）关系放在了一起，真可谓大美至简，奥妙无穷！再举一个例子，便是这个公式：

数学最美的地方在于它的有趣，这可以说是数学的灵魂。比如说，在分析学中，曾有数学家证明过这样一个事情：你可以将一块小豌豆切成有限片，然后把这有限片重新拼起来后能塞满整个地球内部（塞满的意思是，不留任何空隙），这是不是令人匪夷所思呢？一块豌豆怎么能和整个地球一样大？这其中便涉及到可测集的概念。

最后，数学的各个分支之间不是相互孤立的，而是相互联系在一起的，这可以说是一件十分吸引人和令人激动人心的事情。比如，当你在拓扑空间中定义了基本群以后，代数方法便被引入到拓扑学中了，于是便有了代数拓扑这门学科，而当我知道了圆周的基本群的知识之后，去猜测轮胎面的基本群时，便感到十分激动和吸引人。再比如偏微分方程与现代微分几何之间的联系，偏微分方程为几何提供方法，而几何为偏微分方程提供视角和方向。

作者简介：赵曜 中国科学技术大学 学生